Grandezas da Física Vetores

Em física, uma grandeza ou quantidade é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza (no seu sentido mais amplo).

Uma grandeza descreve qualitativamente um conceito porque para cada noção diferente pode haver (pelo menos em princípio) uma grandeza diferente e vice-versa.

Uma grandeza descreve quantitativamente um conceito porque o exprime em forma de um binário de número e unidade.

Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas. Medir significa comparar quantitativamente uma grandeza física com uma unidade através de uma escala pré-definida. Nas medições, as grandezas sempre devem vir acompanhadas de unidades. Exemplos de grandezas: comprimento, massa, temperatura, velocidade, aceleração.

Medir uma grandeza física é compará-la com outra grandeza de mesma espécie, que é a unidade de medida. Verifica-se, então, quantas vezes a unidade está contida na grandeza que está sendo medida. Em resumo, Grandeza Física é tudo aquilo que pode ser medido e associado um valor numérico e a uma unidade. Exemplos: tempo, comprimento, velocidade, aceleração, força, energia, trabalho, temperatura, pressão.

Grandezas vetoriais e grandezas escalares

A Física lida com um amplo conjunto de grandezas. Dentro dessa gama enorme de grandezas existem algumas, cuja caracterização completa requer tão somente um número seguido de uma unidade de medida. Tais grandezas são chamadas grandezas escalares. Exemplos dessas grandezas são a massa e a temperatura.

Vetores

O vetor representa, para efeito de se determinar o módulo, a direção e o sentido, da grandeza física. 

Utilizando-se a representação através de vetores poderemos definir a soma, a subtração e as multiplicações de grandezas vetoriais.

Ao longo do texto vamos estabelecer a distinção entre grandezas vetoriais e escalares, colocando uma flechinha sobre as primeiras:

= vetor aceleração ,
= vetor velocidade ,
= vetor posição ,
= vetor força .

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE VETORES Um vetor é representado graficamente através de um segmento orientado (uma flecha). A vantagem dessa representação é que ela permite especificar a direção (e esta é dada pela reta que contém a flecha) e o sentido (especificado pela farpa da flecha). Além disso, o seu módulo (indicado com v ou ) será especificado pelo "tamanho" da flecha, a partir de alguma convenção para a escala.

Operação com vetores

exemplos: Multiplicação por um escalar, soma de vetores e subtração de vetores. 

A representação gráfica apresentada acima permite-nos executar uma série de operações com vetores (soma, subtração etc.). Podemos agora dizer, por exemplo, quando dois vetores são iguais. Eles são chamados de idênticos se tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.

A seguir, vão as definições das operações.

Multiplicação por um escalar (por um número)

Podemos multiplicar um vetor por um número . Dessa operação resulta um novo vetor:

,

com as seguintes características:

a) O módulo do novo vetor é o que resulta da multiplicação do valor absoluto de pelo módulo de .

b) A direção do novo vetor é a mesma de .

c) O sentido de R é o mesmo de se for positivo e oposto ao de se < 0.

Soma de vetores

Sejam e dois vetores. A soma desses vetores é um terceiro vetor, o vetor resultante:

.

Para determinarmos o módulo, a direção e o sentido desse vetor resultante, utilizamos a regra do paralelogramo.

Primeiramente, desenhamos o paralelogramo definido a partir dos vetores e .

a) Módulo do vetor resultante:

É dado pelo comprimento da diagonal indicada na figura. Portanto,
v² = v₁² + v₂² + 2v₁v₂cos ,

onde é o ângulo entre os dois vetores.

b) Direção:

Aquela da reta que contém a diagonal.

c) Sentido:

A partir do vértice formado pelos dois vetores.

Portanto o vetor resultante é obtido desenhando-se uma das figuras abaixo:

Subtração de vetores

Consideremos os vetores e . A subtração de vetores

,

resulta em um terceiro vetor (chamado resultante), cujas propriedades são inferidas a partir da soma dos vetores e ().

O vetor tem módulo e direção iguais ao do vetor mas tem o sentido oposto. Reduzimos o problema da subtração de dois vetores ao problema da soma de e .

Representação analítica de um vetor

Na representação analítica também utilizamos um conjunto de três atributos de um vetor (esses atributos são conhecidos como componentes do vetor). Para a definição de componentes, a melhor alternativa e a mais fácil é usar um sistema de eixos cartesianos.

Componentes de um vetor

Dado um sistema de eixos cartesianos (composto de um conjunto de três eixos ortogonais), podemos definir as componentes de um vetor nesse sistema de eixos tomando-se as projeções do vetor nesses eixos.

Vamos tomar, por uma questão de simplicidade, um sistema com dois eixos ortogonais (x e y). Esses dois eixos estão contidos num plano.

Consideremos um vetor nesse plano. A componente x do vetor (designada por vx) é dada pela projeção do vetor no eixo x. Para determinarmos a projeção do vetor ao longo de qualquer eixo, consideramos as extremidades do vetor e por elas traçamos linhas perpendiculares ao eixo até encontrá-lo. Tomamos então a distância entre as interseções como a projeção se a flecha estiver na mesma direção do eixo (isto é, se o ângulo entre o vetor e o sentido positivo do eixo for um ângulo agudo). Caso contrário, a projeção será essa distância, mas com sinal negativo.

A projeção, portanto, tem que levar em conta a orientação do vetor em relação ao eixo. A projeção fica melhor definida, matematicamente, em termos do ângulo (entre o vetor e o eixo x). Podemos escrever:

v_x = v.cos ,

onde v é o módulo do vetor.

Analogamente, a componente y é a projeção do vetor ao longo do eixo y. A expressão para v_y é, em termos de :

v_y = v.sen .

Operação com vetores usando componentes

O uso das componentes de um vetor facilita especialmente na adição e subtração de vetores. Por exemplo, na soma de vetores,

,

o vetor resultante () é tal que suas componentes são dadas pela soma das componentes de e . Isto é,

v_x = v_1x + v_{2x ,}

v_y = v_1y + v_{2y .}

No caso da subtração,

,

o vetor resultante () tem suas componentes dadas pela subtração das componentes

v_x = v_1x - v_{2x ,}

v_y = v_1y - v_{2y .}